Функция linalg.svd

Функция linalg.svd выполняет сингулярное разложение (SVD) матрицы. Она разлагает матрицу A размером M x N на три матрицы: U, S и V^T, где A = U * S * V^T. Первым параметром функция принимает двумерный массив. Вторым параметром можно передать булево значение full_matrices, определяющее форму выходных матриц.

Синтаксис

np.linalg.svd(a, [full_matrices])

Пример

Выполним сингулярное разложение матрицы размером 2x3:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
U, S, Vt = np.linalg.svd(arr)

print("U:")
print(U)
print("S:")
print(S)
print("Vt:")
print(Vt)

Результат выполнения кода:

U:
[[-0.3863177  -0.92236578]
 [-0.92236578  0.3863177 ]]
S:
[9.508032   0.77286964]
Vt:
[[-0.42866713 -0.56630692 -0.7039467 ]
 [ 0.80596391  0.11238241 -0.58119908]
 [ 0.40824829 -0.81649658  0.40824829]]

Пример

Получим сингулярное разложение с полными матрицами, используя параметр full_matrices:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
U, S, Vt = np.linalg.svd(arr, full_matrices=True)

print("U shape:", U.shape)
print("Vt shape:", Vt.shape)

Результат выполнения кода:

U shape: (3, 3)
Vt shape: (2, 2)

Пример

Восстановим исходную матрицу из сингулярного разложения:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
U, S, Vt = np.linalg.svd(arr)

S_mat = np.zeros((arr.shape[0], arr.shape[1]))
S_mat[:len(S), :len(S)] = np.diag(S)

res = U @ S_mat @ Vt
print(res)

Результат выполнения кода:

[[1. 2. 3.]
 [4. 5. 6.]
 [7. 8. 9.]]

Пример

Используем сингулярное разложение для низкоранговой аппроксимации матрицы:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
arr = rng.random((5, 5))

U, S, Vt = np.linalg.svd(arr)

k = 2
U_k = U[:, :k]
S_k = np.diag(S[:k])
Vt_k = Vt[:k, :]

approx = U_k @ S_k @ Vt_k
print(approx.round(3))

Результат выполнения кода:

[[0.712 0.472 0.436 0.411 0.287]
 [0.817 0.532 0.482 0.456 0.319]
 [0.861 0.556 0.501 0.474 0.333]
 [0.435 0.256 0.208 0.2   0.149]
 [0.741 0.47  0.421 0.398 0.283]]

Смотрите также

функцию eig,
которая вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
функцию eigh,
которая вычисляет собственные значения и собственные векторы эрмитовой матрицы
функцию pinv,
которая вычисляет псевдообратную матрицу через сингулярное разложение
функцию matrix_rank,
которая вычисляет ранг матрицы на основе сингулярных чисел