Функция linalg.eigh

Функция linalg.eigh вычисляет собственные значения и собственные векторы эрмитовой (или симметричной для вещественных матриц) матрицы. Первым параметром функция принимает квадратную матрицу. Вторым параметром можно указать, какие именно собственные значения вычислять: все, только наибольшие или только наименьшие. Возвращает функция кортеж из двух массивов: массив собственных значений и массив собственных векторов, где каждый столбец соответствует собственному вектору.

Синтаксис

np.linalg.eigh(a, [UPLO])

Пример

Давайте вычислим собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы 2x2:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(arr)
print("Eigenvalues:", eigvals)
print("Eigenvectors:\n", eigvecs)

Результат выполнения кода:

Eigenvalues: [-1.  3.]
Eigenvectors:
 [[-0.70710678 -0.70710678]
  [ 0.70710678 -0.70710678]]

Пример

Давайте вычислим собственные значения и собственные векторы эрмитовой матрицы с комплексными элементами:

import numpy as np

arr = np.array([[2, 1+1j], [1-1j, 3]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(arr)
print("Eigenvalues:", eigvals)
print("Eigenvectors:\n", eigvecs)

Результат выполнения кода:

Eigenvalues: [1.26794919 3.73205081]
Eigenvectors:
 [[-0.85065081+0.j		 -0.52573111+0.j		]
  [ 0.32505758-0.32505758j -0.52573111+0.52573111j]]

Пример

Давайте используем параметр UPLO для указания, какую часть симметричной матрицы использовать:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigvals_lower, eigvecs_lower = np.linalg.eigh(arr, UPLO='L')
eigvals_upper, eigvecs_upper = np.linalg.eigh(arr, UPLO='U')
print("Lower eigenvalues:", eigvals_lower)
print("Upper eigenvalues:", eigvals_upper)

Результат выполнения кода:

Lower eigenvalues: [-1.  3.]
Upper eigenvalues: [-1.  3.]

Пример

Давайте проверим свойство ортогональности собственных векторов симметричной матрицы:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(arr)
dot_product = np.dot(eigvecs[:, 0], eigvecs[:, 1])
print("Dot product of eigenvectors:", dot_product)

Результат выполнения кода:

Dot product of eigenvectors: 0.0

Собственные векторы симметричной матрицы ортогональны, что подтверждается нулевым скалярным произведением.

Смотрите также

функцию eig,
которая вычисляет собственные значения и векторы для общей матрицы
функцию eigvals,
которая вычисляет только собственные значения для общей матрицы
функцию eigvalsh,
которая вычисляет только собственные значения для эрмитовой матрицы
функцию svd,
которая выполняет сингулярное разложение матрицы