Функция linalg.eig

Функция linalg.eig вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Первым параметром функция принимает квадратную матрицу или массив, который можно интерпретировать как матрицу. Возвращает кортеж из двух элементов: массив собственных значений и массив собственных векторов, где каждый столбец соответствует собственному вектору.

Синтаксис

np.linalg.eig(a)

Пример

Вычислим собственные значения и векторы для матрицы 2x2:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(arr)

print("eigenvalues:", eigenvalues)
print("eigenvectors:")
print(eigenvectors)

Результат выполнения кода:

eigenvalues: [-0.37228132  5.37228132]
eigenvectors:
[[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]

Пример

Используем функцию для проверки соотношения A·v = λ·v для первого собственного вектора:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(arr)

v = eigenvectors[:, 0]
lambda_ = eigenvalues[0]
res = np.dot(arr, v)
expected = lambda_ * v

print("A * v:", res)
print("lambda * v:", expected)
print("difference:", np.allclose(res, expected))

Результат выполнения кода:

A * v: [0.30697009 -0.21062466]
lambda * v: [0.30697009 -0.21062466]
difference: True

Пример

Рассмотрим случай вырожденной матрицы с кратными собственными значениями:

import numpy as np

arr = np.array([[2, 1], [0, 2]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(arr)

print("eigenvalues:", eigenvalues)
print("eigenvectors:")
print(eigenvectors)

Результат выполнения кода:

eigenvalues: [2. 2.]
eigenvectors:
[[1. 0.]
 [0. 1.]]

Пример

Работа с комплексными собственными значениями для вещественной матрицы:

import numpy as np

arr = np.array([[0, -1], [1, 0]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(arr)

print("eigenvalues:", eigenvalues)
print("eigenvectors:")
print(eigenvectors)

Результат выполнения кода:

eigenvalues: [0.+1.j 0.-1.j]
eigenvectors:
[[0.70710678+0.j		 0.70710678-0.j		]
 [0.		-0.70710678j 0.		+0.70710678j]]

Смотрите также

функцию eigh,
которая вычисляет собственные значения и векторы для эрмитовых и симметричных матриц
функцию eigvals,
которая вычисляет только собственные значения без векторов
функцию eigvalsh,
которая вычисляет собственные значения для эрмитовых матриц
функцию svd,
которая выполняет сингулярное разложение матрицы