Функция linalg.qr

Функция linalg.qr выполняет QR-разложение матрицы, представляя её в виде произведения ортогональной матрицы Q и верхнетреугольной матрицы R. Первым параметром функция принимает двумерный массив (матрицу). Вторым параметром можно задать режим разложения, определяющий формат возвращаемых матриц.

Синтаксис

np.linalg.qr(a, mode='reduced')

Параметры

Основные параметры функции:

a - входная матрица размером (M, N);
mode - режим разложения, определяющий формат возвращаемых матриц. Доступные значения: 'reduced' (по умолчанию), 'complete', 'r', 'raw'.

Режимы разложения

Функция поддерживает несколько режимов работы:

'reduced' - возвращает матрицы Q размером (M, K) и R размером (K, N), где K = min(M, N);
'complete' - возвращает полную ортогональную матрицу Q размером (M, M) и верхнетреугольную матрицу R размером (M, N);
'r' - возвращает только матрицу R в экономичной форме;
'raw' - возвращает матрицу R и информацию о преобразованиях Хаусхолдера в нестандартном формате.

Пример ⁅⋯n="sect"⁆

Выполним QR-разложение матрицы в стандартном режиме:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]])
q, r = np.linalg.qr(arr)

print("Q:")
print(q)
print("R:")
print(r)

Результат выполнения кода:

Q:
[[-0.12309149  0.90453403  0.40824829]
 [-0.49236596  0.30151134 -0.81649658]
 [-0.86164044 -0.30151134  0.40824829]]
R:
[[ -8.1240384  -9.6011363  -11.4251423 ]
 [  0.		  0.90453403   1.50755672]
 [  0.		  0.		  0.81649658]]

Пример ⁅⋯n="sect"⁆

Используем режим 'complete' для получения полной квадратной матрицы Q:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
q, r = np.linalg.qr(arr, mode='complete')

print("Q shape:", q.shape)
print("R shape:", r.shape)
print("Q:")
print(q)

Результат выполнения кода:

Q shape: (3, 3)
R shape: (3, 2)
Q:
[[-0.16903085  0.89708523  0.40824829]
 [-0.50709255  0.27602622 -0.81649658]
 [-0.84515425 -0.34503278  0.40824829]]

Пример ⁅⋯n="sect"⁆

Получим только матрицу R с помощью режима 'r':

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8]])
r = np.linalg.qr(arr, mode='r')

print("R:")
print(r)

Результат выполнения кода:

R:
[[-5.09901951 -6.27717921 -7.45533891 -8.63349861]
 [ 0.		  0.98058068  1.96116135  2.94174203]]

Пример ⁅⋯n="sect"⁆

Проверим, что произведение Q и R даёт исходную матрицу:

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
q, r = np.linalg.qr(arr)
reconstructed = np.dot(q, r)

print("Original:")
print(arr)
print("Reconstructed:")
print(reconstructed)
print("Max difference:", np.max(np.abs(arr - reconstructed)))

Результат выполнения кода:

Original:
[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]
Reconstructed:
[[1. 2.]
 [3. 4.]
 [5. 6.]]
Max difference: 8.881784197001252e-16

Пример ⁅⋯n="sect"⁆

Используем QR-разложение для решения системы линейных уравнений методом наименьших квадратов:

import numpy as np

# Создаем матрицу коэффициентов и вектор правой части
A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])
b = np.array([2, 3, 4])

# Выполняем QR-разложение
q, r = np.linalg.qr(A)

# Решаем систему R * x = Q^T * b
qt_b = np.dot(q.T, b)
x = np.linalg.solve(r, qt_b)

print("Solution x:")
print(x)

Результат выполнения кода:

Solution x:
[1. 1.]

Смотрите также

функцию svd,
которая выполняет сингулярное разложение матрицы
функцию inv,
которая вычисляет обратную матрицу
функцию solve,
которая решает систему линейных уравнений
функцию lstsq,
которая решает задачу наименьших квадратов