Функция linalg.lstsq

Функция linalg.lstsq вычисляет решение системы линейных уравнений вида a·x = b методом наименьших квадратов. Она минимизирует евклидову норму ||b - a·x||². Первым параметром функция принимает матрицу коэффициентов a, вторым - вектор или матрицу правой части b. Третьим параметром можно задать порог отсечения сингулярных чисел (параметр rcond).

Синтаксис

np.linalg.lstsq(a, b, [rcond])

Параметры

Функция linalg.lstsq принимает следующие параметры:

a - матрица коэффициентов (M×N), где M - число уравнений, N - число неизвестных.
b - правая часть системы, может быть одномерным вектором длины M или матрицей размера M×K для нескольких правых частей.
rcond (необязательный) - порог отсечения для малых сингулярных чисел. По умолчанию равен 1e-15.

Возвращаемое значение

Функция возвращает кортеж из четырех элементов:

x - решение системы.
residuals - сумма квадратов невязок.
rank - ранг матрицы a.
singular_values - сингулярные числа матрицы a.

Пример 1

Решим переопределенную систему уравнений с двумя неизвестными и тремя уравнениями:

import numpy as np

a = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])
b = np.array([1, 2, 3])

x, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None)
print(x)
print(residuals)

Результат выполнения кода:

[1. 0.]
[0.5]

Пример 2

Решим систему с несколькими правыми частями:

import numpy as np

a = np.array([[2, -1], [1, 3], [0, 2]])
b = np.array([[1, 0], [2, 1], [3, 2]])

x, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=1e-6)
print(x)
print("Ранг матрицы =", rank)

Результат выполнения кода:

[[-0.10344828  0.31034483]
 [ 1.4137931   0.86206897]]
Ранг матрицы = 2

Пример 3

Используем функцию для аппроксимации данных методом наименьших квадратов:

import numpy as np

# Данные для аппроксимации y = a*x + b
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y_data = np.array([1.2, 2.3, 2.8, 4.1, 5.2])

a = np.vstack([x_data, np.ones(len(x_data))]).T
b = y_data

coeffs, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None)
a_coeff, b_coeff = coeffs

print("Коэффициент наклона =", a_coeff)
print("Свободный член =", b_coeff)
print("Сумма квадратов невязок =", residuals)

Результат выполнения кода:

"Коэффициент наклона = 0.99"
"Свободный член = 0.23"
"Сумма квадратов невязок = 0.046"

Смотрите также

функцию solve,
которая решает системы линейных уравнений для квадратных матриц
функцию pinv,
которая вычисляет псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза
функцию matrix_rank,
которая вычисляет ранг матрицы
функцию norm,
которая вычисляет норму матрицы или вектора